“{{Sem-fontes|data=agosto de 2026}}
{{Info/Teorema
| nome = Conjetura de Collatz
| imagem = Collatz-graph-all-30-no_label. svg
| legenda = Gráfico mostrando as trajetórias de todos os números até 30 convergindo para o número 1.
| tipo = Problema em aberto
| formulado_por = Lothar Collatz
| data_formulacao = 1937
}}

A '''Conjetura de Collatz''' (também conhecida como '''Problema 3x + 1''', '''Problema de Ulam''', '''Conjetura de Kakutani''' ou '''Sequência de Granizo''') é um dos problemas em aberto mais famosos da [[matemática]] moderna. O enunciado foi proposto pelo matemático alemão [[Lothar Collatz]] em 1937.

O problema consiste em aplicar uma operação aritmética simples a qualquer número inteiro positivo e observar se a sequência gerada eventualmente atinge o número 1, independentemente do valor inicial escolhido.

== Definição Matemática ==
Para qualquer número inteiro positivo n, define-se a seguinte função definida por ramos:

:f(n) = \begin{cases} n/2 & \text{se } n \text{ é par} \\ 3n + 1 & \text{se } n \text{ é ímpar} \end{cases}

A conjetura afirma que, ao criar uma sequência repetindo a aplicação desta função (f(f(f(n)))), o resultado final colapsará sempre no ciclo repetitivo estável de período 3: '''4 → 2 → 1'''.

=== Exemplo Prático ===
Escolhendo o número inicial '''13''' (n = 13):
* 13 é ímpar → 3(13) + 1 = 40
* 40 é par → 40 / 2 = 20
* 20 é par → 20 / 2 = 10
* 10 é par → 10 / 2 = 5
* 5 é ímpar → 3(5) + 1 = 16
* 16 é par → 16 / 2 = 8
* 8 é par → 8 / 2 = 4
* 4 é par → 4 / 2 = 2
* 2 é par → 2 / 2 = 1

A sequência completa é: 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. O processo demorou 9 passos (iterações).

== Números Granizo ==
As sequências geradas são frequentemente chamadas de '''números granizo''' (*hailstone numbers*). O termo deriva da analogia meteorológica: os valores flutuam de forma caótica e sobem a picos elevados (como pedras de granizo sendo empurradas pelas correntes de ar dentro de uma nuvem) antes de, inevitavelmente, despencarem em direção ao solo (o número 1).

Por exemplo, o número inicial '''27''' exige 111 passos e sofre uma expansão massiva, atingindo um pico máximo de '''9 232''' antes de descender até ao 1.

== Estado Atual da Investigação ==
Apesar de ser extremamente simples de entender, a conjetura continua sem uma demonstração matemática formal.

* '''Verificação computacional:''' Com o auxílio de supercomputadores, a conjetura já foi testada e confirmada para todos os números iniciais até pelo menos 2^{68} sem que nenhuma exceção fosse encontrada.
* '''Abordagem de Terence Tao:''' Em 2019, o matemático [[Terence Tao]] publicou um avanço significativo, provando que "quase todos" os números da sequência de Collatz atingem valores infinitamente menores do que o número inicial escolhido, aproximando-se muito de uma prova estatística global.

== Variantes e Extensões ==
O estudo do comportamento desta equação inspirou matemáticos e programadores a criarem variantes computacionais alternativas (como as funções aplicadas a campos de inteiros negativos \mathbb{Z}^- ou alterações nos coeficientes para 5x+1 ou 7x+1), onde novos atractores cíclicos independentes e loops fechados isolados tendem a surgir.

== Ver Também ==
* [[Teoria dos números]]
* [[Sistemas dinâmicos]]
* [[Problemas do Prémio Millennium]]

== Ligações Externas ==
* [https://claymath. org Clay Mathematics Institute]

[[Categoria: Problemas em aberto da matemática]]
[[Categoria: Teoria dos números]]”